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是大自然的天作之合成全了数学之美?

还是数学揭示了自然规律而美不胜收?


今天的故事要从西元1202年说起

一位叫列昂纳多·斐波那契的意大利数学家

他发现了一个无聊有趣问题:

假设一对初生兔子一个月到成熟期

一对成熟兔子每月生一对兔子

并且一年内没有发生死亡

那么,由一对初生兔子开始

一年以后可以繁殖多少对兔子?


依照上述兔子的繁殖规则,答案是这样的

个月:只有1对小兔子

个月:小兔子还没成年,还是1对小兔子

个月:

兔子成年生1对小兔子,此时有2对兔子

个月:

成年兔子又生了1对兔子

加上自己及上月生的小兔子,共有3对兔子

个月:

成年兔子又生了1对兔子

第三月生的小兔子已经长成年且生了1对小兔子

加上本身两只兔子及上月生的兔子,共5对兔子

......

这么说估计大家都会很懵,看图就比较方便了

规律是,每月的兔子对数

=上一月的兔子对数+该月新生的兔子对数

=上一月的兔子对数+上上月的兔子对数


即第n个月的兔子对数为Fn,F1=F2=1

则对n>2,有Fn=Fn-1+Fn-2

根据上述规律

可预测到十二个月兔子数量共为144


至此,兔子问题得以解决

而以上每个月份兔子数量的数列

即为“斐波那契数列(Fibonacci sequence)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

斐波那契数列中的任一个数,都叫斐波那契数



自然界中的斐波那契数列



斐波那契数是大自然的一个基本模式

只要我们认真观察

斐波那契数存在于自然界的万物中

向日葵的花盘中有两组螺旋线

一组顺时针方向盘绕,另一组逆时针方向盘绕

并且彼此相嵌

图中向日葵的两类曲线

绿色的逆时针螺线有13条

蓝色的顺时针螺线有21条

13和21正是斐波那契数列中相邻的两项

虽然不同的向日葵品种中

这些顺逆螺旋的数目不固定,但往往不会超出

13和21、34和55、55和89或89和144这几组数字

每组数字都是斐波那契数列中相邻的两个数

顺、逆螺旋这样排列的目的

是为了让植物最充分地利用阳光和空气

繁育更多的后代

而这种排列则是在长期进化中自然选择的结果


类似的例子还有罗马花椰菜

(13,21)


以及树木的生长

新生的枝条往往需要一段“休息”时间

供自身生长,而后才能萌发新枝

所以,一株树苗在一段间隔后长出一条新枝

第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发

此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发

当年生的新枝则次年“休息”

这样下去,一株树木各个年份对应的枝桠数

便构成斐波那契数列

这个规律就是生物学上著名的“鲁德维格定律



斐波那契螺旋线



当我们按斐波那契数列,取边长分别为

1、1、2、3、5、8、13、21......的正方形

每一个新的正方形都有一个边

其长度与最近两个正方形的边之和一样长

这组矩形的边长是两个相邻的斐波那契数

称为斐波那契矩形,也叫黄金矩形

(记住这个黄金矩形,等下还会再次出现)

然后,以各正方形的一个顶点为圆心

画出四分之一的曲线,再连接所有曲线

最后形成的螺旋线就是下图所示的

斐波那契螺旋线

人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状

这种形状的构造帮助人类可以更好的接收声波

从而增强听觉


此外,与斐波那契螺旋线非常相似的还有一种

对数螺线,也称等角螺线

即穿过原点的任意直线与等角螺线相交的角永远相等

是不是看着有点眼熟?

点击空白处查看答案


鹦鹉螺



斐波那契数列与黄金分割



现在让我们再次回到斐波那契数列

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

如果我们取斐波那契数列中两个相邻的数字

后面的数字除以前面的数字,会得到以下数列


1/1=1 34/55=0.61818

1/2=0.5 55/89=0.61798

2/3=0.66667 89/144=0.61806

3/5=0.6 144/233=0.61803

5/8=0.625 233/377=0.61804

8/13=0.61538 377/610=0.61803

13/21=0.61905 610/987=0.61803

21/34=0.61765 987/1597=0.61803


在图表中绘制这些数值


发现当n趋向于无穷大时,前一项与后一项的比值

越来越逼近黄金分割率 0.618

而我们其实也可以从刚刚的斐波那契矩形中

来理解黄金分割

黄金分割是指把一条线段分割为两部分

使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比

即图中的b/a=a/a+b=(√5-1)/2≈0.618


黄金分割也被广泛应用于建筑界

被认为是建筑和艺术中最理想的比例

蕴含着艺术性、比例性、和谐性

历史上许多著名的建筑

实际上它们或多或少都应用了黄金分割

古希腊巴特农神庙是举世闻名的完美建筑

建成于公元前477年至前432年

它坐落在希腊首都雅典卫城的最高点上

是为了庆祝雅典战胜波斯而建

神庙的地面和顶部、立面的高和宽

都十分接近黄金分割比

所以后人曾经感叹说:

帕特农神庙不能多加一点,也不能减少分毫


埃及金字塔的建造也充分利用了黄金分割的原理

虽历经几千年的自然侵蚀和人为破坏,已残损不堪

但从远处观望金字塔

雄伟庞大的建筑体在整体上还是呈现为一个角锥体

并且是一个最具有美感的四角锥体结构

虽然这些金字塔大小各异

金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618


矗立在塞纳河南岸法国巴黎的埃菲尔铁塔

于1889年建成,是当时世界上最高的建筑物

铁塔设有三个平台

其中第二个平台的位置就十分接近于

全塔高度的黄金分割点


而且除了美,黄金分割还有另外一个作用

就是稳,科学家发现

如果两根相邻的弦线长短一致并且产生同样的振动

共振显然是最大的

而当弦长度是无理数的时候共振最小

符合黄金分割率的建筑

在地震中所导致的共振并不大

而黄金分割率就是无理数,符合共振最小的规律


存在于自然界的数学之美不胜枚举

蝴蝶翅膀的对称生长

理想情况下雪花的科克曲线

银河系螺旋状的旋臂......

数学与自然无处不在的结合

闪耀着无限的光芒



话题

你观察过哪些自然界的数学之美?

留言区见


- END -

编辑 | 尹诗画

图源 | 视觉中国、网络


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